Обычно отношение порядка обозначают знаком
Определение 9
. Отношение


называется
отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:

(рефлексивность)
- Если

, то 
- Если

, то 
Обычно отношение порядка обозначают знаком


и


, то говорят, что


. Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

(рефлексивность)
- Если

, то 
- Если

, то 
Определение 9
. Пусть отношение 
, отношение 
, а 
и т.д.). Тогда
соединением отношения 
с отношением 
называют отношение
Это частный случай операции общего соединения.
Иногда, для операции 
Определение 9
. Отношение
5НФ, если в отношении найдется нетривиальная зависимость соединения.
Возвращаясь к примеру 3, становится понятно, что не зная ничего о том, какие потенциальные ключи имеются в отношении и как взаимосвязаны атрибуты, нельзя делать выводы о том, находится ли данное отношение в 5НФ (как, впрочем, и в других нормальных формах). По данному конкретному примеру можно только предположить, что отношение в примере 3 не находится в 5НФ. Предположим, что анализ предметной области позволил выявить следующие зависимости атрибутов в отношении

(i) Отношение

(ii) Имеется следующая зависимость (довольно странная, с практической точки зрения): если в отношении


,


, то отсюда следует, что в отношении


.
Утверждение. Докажем, что при наличии ограничений (i) и (ii), отношение находится в 4НФ, но не в 5НФ.
Доказательство. Покажем, что отношение

Покажем, что отношение не находится в 5НФ. Для этого нужно привести пример нетривиальной зависимости соединения. Естественным кандидатом на нее является


,


не совпадает с множеством всех атрибутов отношения

Но является ли такая декомпозиция именно зависимостью соединения? Для этого нужно показать, что декомпозиция на три проекции


и


(именно здесь содержится ключевая тонкость, обычно пропускаемая при анализе конкретного состояния отношения

Как и в предыдущих доказательствах, нужно доказать, что


.
Включение


.
Докажем включение

Пусть кортеж


содержится кортеж


содержится кортеж


содержится кортеж


,


атрибутов


и


содержит кортежи


и


содержится также и кортеж
Утверждение доказано.